滑动窗口

  1. 滑动窗口
    1. 76-最小覆盖子串

滑动窗口

一首小诗来歌颂滑动窗口算法的伟大:(作者-东哥)

poem

说起滑动窗口算法,很多读者都会头疼。这个算法技巧的思路非常简单,就是维护一个窗口,不断滑动,然后更新答案么。

该算法的大致逻辑如下:

int left = 0, right = 0;

while (right < s.size()) {
    // 增大窗口
    window.add(s[right]);
    right++;
    
    while (window needs shrink) {
        // 缩小窗口
        window.remove(s[left]);
        left++;
    }
}

这个算法技巧的时间复杂度是 O(N),比字符串暴力算法要高效得多。

其实困扰大家的,不是算法的思路,而是各种细节问题。

  • 比如说如何向窗口中添加新元素,如何缩小窗口,在窗口滑动的哪个阶段更新结果。

  • 即便你明白了这些细节,也容易出 bug,找 bug 还不知道怎么找,真的挺让人心烦的。

滑动窗口算法的代码框架

例子:

image-20211111112256280

其中两处 ... 表示的更新窗口数据的地方,到时候你直接往里面填就行了

而且,这两个 ... 处的操作分别是右移和左移窗口更新操作,等会你会发现它们操作是完全对称的。

/* 滑动窗口算法框架 */
void slidingWindow(string s, string t) {
    Map<Character, Integer> window = new HashMap<>(16);
    Map<Character, Integer> need = new HashMap<>(16);
    for(char c : t.toCharArray()) {
        // getOrDefault: 如果 need 中没有c就返回0
        need.put(c, need.getOrDefault(c, 0)+1);
    }
    
    int left = 0, right = 0;
    int valid = 0; 
    while (right < s.length()) {
        // c 是将移入窗口的字符
        char c = s.charAt(right);
        // 右移窗口
        right++;
        // 进行窗口内数据的一系列更新
        ...

        /*** debug 输出的位置 ***/
        printf("window: [%d, %d)\n", left, right);
        /********************/
        
        // 判断左侧窗口是否要收缩
        while (window needs shrink) {
            // d 是将移出窗口的字符
            char d = s.charAt(left);
            // 左移窗口
            left++;
            // 进行窗口内数据的一系列更新
            ...
        }
    }
}

76-最小覆盖子串

https://leetcode-cn.com/problems/minimum-window-substring/

给你一个字符串 s 、一个字符串 t 。返回 s 中涵盖 t 所有字符的最小子串。

如果 s 中不存在涵盖 t 所有字符的子串,则返回空字符串 “” 。

注意:

  • 对于 t 中重复字符,我们寻找的子字符串中该字符数量必须不少于 t 中该字符数量。
  • 如果 s 中存在这样的子串,我们保证它是唯一的答案。
image-20211111123305621

理解: 就是说要在 S(source) 中找到包含 T(target) 中全部字母的一个子串,且这个子串一定是所有可能子串中最短的。

如果我们使用暴力解法,代码大概是这样的:

for (int i = 0; i < s.size(); i++)
    for (int j = i + 1; j < s.size(); j++)
        if s[i:j] 包含 t 的所有字母:
            更新答案

思路很直接,但是显然,这个算法的复杂度肯定大于 O(N^2) 了,不好。

滑动窗口算法的思路是这样

1、我们在字符串 S 中使用双指针中的左右指针技巧,初始化 left = right = 0,把索引左闭右开区间 [left, right) 称为一个「窗口」。

2、我们先不断地增加 right 指针扩大窗口 [left, right),直到窗口中的字符串符合要求(包含了 T 中的所有字符)。

3、此时,我们停止增加 right,转而不断增加 left 指针缩小窗口 [left, right),直到窗口中的字符串不再符合要求(不包含 T 中的所有字符了)。同时,每次增加 left,我们都要更新一轮结果。

4、重复第 2 和第 3 步,直到 right 到达字符串 S 的尽头。

这个思路其实也不难,第 2 步相当于在寻找一个「可行解」,然后第 3 步在优化这个「可行解」,最终找到最优解,也就是最短的覆盖子串。

左右指针轮流前进,窗口大小增增减减,窗口不断向右滑动,这就是「滑动窗口」这个名字的来历。

下面画图理解一下,needswindow 相当于计数器,分别记录 T 中字符出现次数和「窗口」中的相应字符的出现次数。

初始状态:

image-20211111124538660

增加 right,直到窗口 [left, right] 包含了 T 中所有字符:

image-20211111125449951

现在开始增加 left,缩小窗口 [left, right]

image-20211111125638587

直到窗口中的字符串不再符合要求,left 不再继续移动:

image-20211111125734679

之后重复上述过程,先移动 right,再移动 left…… 直到 right 指针到达字符串 S 的末端,算法结束。

如果你能够理解上述过程,恭喜,你已经完全掌握了滑动窗口算法思想。现在我们来看看这个滑动窗口代码框架怎么用

首先,初始化 windowneed 两个哈希表,记录窗口中的字符和需要凑齐的字符:

Map<Character, Integer> window = new HashMap<>(16);
Map<Character, Integer> need = new HashMap<>(16);
for(char c : t.toCharArray()) {
    need.put(c, need.getOrDefault(c, 0)+1);
}

然后,使用 leftright 变量初始化窗口的两端,不要忘了,区间 [left, right) 是左闭右开的,所以初始情况下窗口没有包含任何元素:

int left = 0, right = 0;
int valid = 0; 
while (right < s.size()) {
    // 开始滑动
}

其中 valid 变量表示窗口中满足 need 条件的字符个数,如果 validneed.size 的大小相同,则说明窗口已满足条件,已经完全覆盖了串 T

现在开始套模板,只需要思考以下四个问题

1、当移动 right 扩大窗口,即加入字符时,应该更新哪些数据?

2、什么条件下,窗口应该暂停扩大,开始移动 left 缩小窗口?

3、当移动 left 缩小窗口,即移出字符时,应该更新哪些数据?

4、我们要的结果应该在扩大窗口时还是缩小窗口时进行更新?

如果一个字符进入窗口,应该增加 window 计数器;

如果一个字符将移出窗口的时候,应该减少 window 计数器;

valid 满足 need 时应该收缩窗口;

应该在收缩窗口的时候更新最终结果

完整代码如下:

package com.slidingwindow;

import java.util.HashMap;
import java.util.Map;
import java.util.Scanner;

public class minWindow_76 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner reader = new Scanner(System.in);
        // ADOBECODEBANC
        String s = reader.nextLine();
        // "ABC"
        String t = reader.nextLine();
        // "BANC"
        String res = minWindow(s, t);
        System.out.println(res);
    }

    /**
     * 返回 s 中 涵盖 t 所有字符的最小子串
     * ADOBECODEBANC
     * ABC
     * */
    public static String minWindow(String s, String t) {
        Map<Character, Integer> window = new HashMap<>(16);
        Map<Character, Integer> need = new HashMap<>(16);
        for(char c : t.toCharArray()) {
            need.put(c, need.getOrDefault(c, 0)+1);
        }

        int left = 0, right = 0;
        int valid = 0;
        // 记录最小覆盖子串的起始索引及长度
        int start = 0, len = Integer.MAX_VALUE;
        while (right < s.length()) {
            // c 是将移入窗口的字符
            char c = s.charAt(right);
            // 右移窗口
            right++;
            // 进行窗口内数据的一系列更新
            if (need.containsKey(c)) {
                window.put(c, window.getOrDefault(c, 0)+1);
                if (window.get(c).equals(need.get(c))) {
                    valid++;
                }
            }
            
            // 判断左侧窗口是否要收缩
            while (need.size() == valid) {
                // 在这里更新最小覆盖子串
                if (right - left < len) {
                    start = left;
                    len = right - left;
                }
                // d 是将移出窗口的字符
                char d = s.charAt(left);
                // 左移窗口
                left++;
                // 进行窗口内数据的一系列更新
                if (need.containsKey(d)) {
                    if (window.get(d).equals(need.get(d))) {
                        valid--;
                    }
                    window.put(d, window.get(d)-1);
                }
            }
        }

        // 返回最小覆盖子串
        return len == Integer.MAX_VALUE ? "" : s.substring(start, start+len);
    }
}

需要注意的是,当我们发现某个字符在 window 的数量满足了 need 的需要,就要更新 valid,表示有一个字符已经满足要求。而且,你能发现,两次对窗口内数据的更新操作是完全对称的。

valid == need.size() 时,说明 T 中所有字符已经被覆盖,已经得到一个可行的覆盖子串,现在应该开始收缩窗口了,以便得到「最小覆盖子串」。

移动 left 收缩窗口时,窗口内的字符都是可行解,所以应该在收缩窗口的阶段进行最小覆盖子串的更新,以便从可行解中找到长度最短的最终结果。

至此,应该可以完全理解这套框架了,滑动窗口算法又不难,就是细节问题让人烦得很。以后遇到滑动窗口算法,你就按照这框架写代码,保准没有 bug,还省事儿



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